마이크로웨이브 필터

필터는 초고주파대에서 마이크로파 통신, 레이더, 측정장비 등과 같은 넓은 분야에 응용되고 있는 중요한 회로소자이다. 필터는 주파수 특성에 따라 크게 저역통과(Low Pass Filter), 대역통과(Band Pass Filter), 대역저지(Band Stop Filter), 고역통과(High Pass Filter)등으로 구별되어진다.

필터를 합성하는 방법에는 크게 영상파라미터 방법과 삽입 손실방법이 있는데 영상 파라메터 방법을 사용한 필터 합성은 여러개의 간단한 Two-port 필터를 종속함으로써 원하는 차단 주파수에 대한 감쇄 특성을 얻을 수 있지만 동작 주파수 범위 안에서 원하는 결과를 얻기 위해서는 여러번 반복해야 한다는 단점이 있다. 반면에 삽입 손실 방법에 의한 필터 합성은 회로망 합성(network Synthesis) 기법을 이용하여 요구하는 주파수 응답을 만족하는 필터를 설계하는 기법이다. 즉, 임피던스와 주파수로 정규화한 프로토타입(prototype) 저역필터를 합성하고 이를 변환(transformation)하여 고역통과 필터나 대역통과 필터 및 대역저지 필터를 합성한다. 이것은 분포정수 소자로 구성된 필터로 마이크로스트립 선로와 같은 전송선로로 설계하려면 Richard 변환과 Kuroda 등식을 사용하여 분포회로로 변환해야 한다.

최근에는 복잡한 계산을 자동으로 처리해주는 컴퓨터의 등장으로 필터를 합성할 때 주로 삽입손실(insertion loss)방법을 사용한다.

필터합성의 조건은 주파수 □에 관한 진폭과 위상특성이 주어지면 이 특성에 알맞는 함수를 구하는 것이다. 이 함수를 얻는 과정을 근사이론이라 한다. 삽입손실 방법에서 통과 대역과 저지 대약에서 진폭특성과 위상특성에 따라 최소삽입손실이 가장 중요하면 2차응답(Binomial response), 즉 Butter-

worth 특성을 사용하고, 급격한 차단 특성이 중요시될 때에는 Chebyshev 특성을 사용할 수 있다. 만약 선형 위상특성이 중요시 되면 선형 위상필터를 설계하여 우수한 위상 특성을 얻는다. 이와 같은 경우에 삽입손실방법을 사용하면 필터의 성능을 비교적 간단한 방법으로 향상시킬 수 있다. 근사법에서는 저역통과 필터의 경우를 다루고, 나머지 필터는 저역 통과를 주파수 변환하여 합성한다. 필터는 통과대역의 진폭특성에 따라 통과대역에서 진폭특성이 평탄한 Butterworth 필터, 그리고 통과대역에서 진폭특성이 동일한 리플(ripple)을 갖는 Chebyshev 필터로 크게 나뉘어진다.

회로망의 입력과 출력측 모두 각각 전원 임피던스와 부하임피던스가 완전한 정합을 이루면 변환전력 이득은

[eqn: G_t ~=~ P_L over P_as ~=~ |S_21 (□)| ^2]   ………………………………(1)

으로 주어지므로, 변환전력이득은 순방향 산란정수의 절대치 제곱이다.

Two-port 회로망의 삽입 전력비는 다음과 같이 [eqn: G_t]의 역수로 정의된다.

[eqn: P_as over P_L ~=~ 1 over {|S_21 (□)| ^2 }]   ……………………………………(2)

그림 1처럼 1□단자 사이의 무손실 Two-port 회로망인 경우 [eqn: S_11]과 [eqn: S_21]은 다음과 같은 관계식을 가진다.

[eqn: |S_11 (□) |^2 ~=~ 1-|S_21 (□) |^2]   ………………………………(3)

따라서, [eqn: S_11 (□)]을 알면 회로망의 입력임피던스는

[eqn: Z_"in" ~=~ {1+S_11 (□) } over { 1- S_11 (□) }]   ……………………………………(4)

로 주어진다.

그림 . 입·출력 단자를 순수한 저항으로 종단한 필터회로

그림 2(a)에서 보는 바와 같이 이상적인 저역통과 주파수 특성을 갖는 필터를 설계하는 것은 불가능하므로 이에 대한 근사화한 형식이 필요하다. 우선 [eqn: |S_21 (□)| ^2]이 다음과 같은 형태를 갖는다고 하자.

[eqn: |S_21 (□)|^2 ~=~ 1 over { 1+□^2 f(□^2 )}]   …………………………(5)

여기서 □은 통과대역 안에서 리플을 결정하는 변수이다.

(a) 이상적 저역통과특성 (b) Butterworth특성 (c) Chebyshev특성

그림 2. 저역통과 필터의 주파수 특성

[eqn: |S_21 (□) |]가 그림 2(a)에 근사하기 위하여 필요한 조건은 다음과 같다.

[eqn: f(□_2 ) ≫ 1]     ;  □ > 1   ………………(6)

[eqn: 0≤f(□_2 ) ≪ 1]  ; 0≤ □ < 1   ……………(7)

여기서 □는 차단주파수 [eqn: □_c]로 정규화한 각 주파수이다.

식 (6∼7)을 만족하는 [eqn: f(□_2 )]은 무수히 많지만 그 중 널리 알려진 것은 Butterworth 다항식과  Chebyshev 다항식이다.

(a) Butterworth 저역통과필터(최대평탄특성)

저역통과 필터는 차단주파수 [eqn: □_c]보다 낮은 모든 정현파는 감쇄없이 통과하지만 주파수가 [eqn: □_c]보다 높은 모든 정현파는 완전히 제거한다. 그러나 회로망 함수는 유리 함수가 되어야하기 때문에 순방향 산란 정숙의 절대값 [eqn: |S_21 (□)|]는 통과대역에서 정수일 수 없고 또한 저지대역에서도 0이 될 수 없다. 그러므로 실제로 실현할 수 있는 조건을 만족하는 범위내에서 이상적 틍성에 가장 근사할 수 있는 함수를 구해야한다. 그 중 하나가 Butterworth가 제안한 다음과 같은 전달함수이다.

[eqn: |H(j□) |^2 ~=~n |S_21 (□) |^2 ~=~ 1 over {1+□^2n }]   ………………………(8)

따라서 [eqn: |S_21 (□) |]는

[eqn: |S_21 (□) | =~ 1 over {sqrt{1+□^2n }}]   ………………………………………(9)

로 주어지고, 주파수에 따른 감쇄는

[eqn: L(□) ~=~ 10log(1+□^2n )]   …………………………………(10)

로 주어진다.

식 (9∼10)에서 □=1이며 [eqn: f(□_2 ) =□^2n] ([eqn: n]=1, 2, 3, ……)이다. 여기서 □는 [eqn: □_c]로 정규화한 각주파수이다. 식 (9)를 n차 Butterworth 필터의 진폭특성이라 부른다. 식 (10)은 주파수 □를 차단주파수로 정규화한 □값이다. 식(9∼10)은 모든 n에 대해서 □=1에서 [eqn: 20log[S_21 (1) / S_21 (0)]][eqn: = 20log 0.707 = -3.0]□의 값을 가진다.

식 (10)에 2항 급수를 전개하면

[eqn: |S_21 (□) | ~=~ 1- 1/2 □^2n + 3/8 □^4n -5/6 □^6n +……]   ………………(11)

가 된다. 윗 식은 (2n-1)차 도함수까지는 □인수를 갖기 때문에 □=0에서 모든 도함수는 0이 된다. 즉, 차단주파수보다 훨씬 낮은 주파수에서 [eqn: |S_21 (□) |]의 모든 도함수가 주파수에 따라 작은 비율로 변하기 때문에 Butterworth특성을 일명 최대평탄특성이라고도 한다.

(b) Chebyshev 저역통과필터

앞에서 본 Butterworth 필터의 주파수 특성은 최대 평탄한 것으로서 통과대역과 저지대역에서 곡선의 경사가 비교적 완만하다. 이런점을 보완하여 자주 사용되는 근사법은 Chebyshev가 고안한 다항식을 이용하는 것이다.

Butterworth 필터의 경우 식 (5)에서 [eqn: f(□_2 ) = □^2n]으로 놓았으나 Chebyshev 필터에서는 [eqn: f(□_2 ) = C_n ^2 (□)]로 한다는 점이다. 그러나 Chebyshev 다항식 [eqn: C_n (□)]는 그 근이 통과대역에서 퍼져 있어 [eqn: |S_21 |^2]=1이 되는 점이 통과대역 내에 여러군데 있다. 그 결과 차단주파수 근방에서 곡선의 경사가 Butterworth에 비해 더 급하게 변한다는 점이 좋은 특징이다.

이상적 저역통과필터 Chebyshev 근사법은 다음과 같이 주어지며 그 주파수 특성은 그림 3에 보인바와 같다.

[eqn: |S_21 |^2 ~=~ 1 over { 1+□^2 C_n ^2 (□) }]   ………………………………(12)

그림 3. Chebyshev 저역통과필터의 주파수 특성

여기서 □<1이며 Chebyshev 다항식은

[eqn: C_n (□) ~=~ cos(ncos^-1 □ )]    ; 0 ≤ □  ≤ 1

[eqn: C_n (□) ~=~ cosh(ncosh^-1 □ )]  ; □ > 1

으로 주어진다. 여기서 □는 차단주파수 [eqn: □_c]로 정규화된 값이다. 윗 식을 □의 다항식으로 표시하면 다음식과 같이 된다.

[eqn: C_1 (□) = □]

[eqn: C_2 (□) = 2□^2 -1]

[eqn: C_3 (□) = 4□^3 -3□]

[eqn: C_4 (□) = 8□^4 -4□^2 +1]

[eqn: C_n (□) = 2□C_n-1 (□) - C_n-2 (□)]

흔히 설계자는 설계하고자 하는 주파수 특성이 어느 주파수까지 어느 정도의 감쇄를 할 것인가에 따라 n의 값을 구해야 한다. 식 (12)에 대수를 취하면

[eqn: L_A (□) = 10log {(1+□^2 cosh[hcosh^-1 (□) ])}]   ………………………(13)

된다. 지금 그림 3에 보인 통과대역 내에서의 리플(ripple)을 [eqn: L_Ar](□)로 나타내면

[eqn: L_Ar& = 1- 1over { (1+□^2 ) ^1/2}## &=10log(1+□^2 ) □]   ………………………………………(14)

이다. 따라서 윗식으로 [eqn: L_Ar](□)가 주어지면

[eqn: □ = sqrt{10^{L_Ar /10} -1 }]   ………………………………………………(15)

이므로 식 (13)으로부터 n을 구하면

[eqn: n~&=~{cosh^-1 [(10^{L_A(□) /10} -1 /□^2 ]^1/2 } over {cosh^-1 (□)}## &=~ {cosh^-1 [(10^{L_A(□) /10} -1) / (10^{L_Ar /10} -1 )]^1/2 }over {cosh^-1 (□)}]   ……………(16)

가 된다. 여기서 [eqn: cosh^-1 (x) = ln[x+(x^2 -1)^1/2 ]]로 주어진다.

따라서 [eqn: L_Ar]과 n이 결정되면 이에 해당하는 함수 [eqn: S_21 (□)]를 구할수있으나 차단 주파수 [eqn: □_c]와 부하저항 R로 정규화된 각 소자값 [eqn: g_i](i = 1, 2, 3 ……, n)를 구하는 유도과정은 복잡하므로 그 결과만을 요약하면 다음과 같다.

[eqn: □_c =] 1

[eqn: g_0 =1]

[eqn: g_1 = 2a_1 over□]

[eqn: g_k = {4a_k-1 a_k } over { b_k-1 g_k-1 }]       k= 2, 3, 4, …, n

[eqn: g_n+1 = cases{ &1 ~~~~~~~~~~~~n 홀수## &coth^2 ( □ over 4 )~~~n짝수 }]

여기서

□ = [eqn: ln{[coth( L_Ar over 17.37 ) ]}]

□ = [eqn: sinh( □ over 2n )]

[eqn: a_k = sin[{(2k-1)pi} over {2n} ]]

[eqn: b_k = □^2 + sin^2 ( kpi over n )]

이다. Chebyshev 필터를 구성하는 각 소자값 g를 위의 식들을 사용하여 구하면 표 3-2에 보인 바와 같다.

표 3-2 Chebyshev 저역통과 프로토타입 필터

0.5□ Ripple
n	[eqn: g_1]	[eqn: g_2]	[eqn: g_3]	[eqn: g_4]	[eqn: g_5]	[eqn: g_6]	[eqn: g_7]	[eqn: g_8]	[eqn: g_9]	[eqn: g_10]	[eqn: g_11]
1	0.6986	1.0000
2	1.4029	0.7071	1.9841
3	1.5963	1.0967	1.5963	1.0000
4	1.6703	1.1926	2.3661	0.8419	1.9841
5	1.7058	1.2296	2.5408	1.2296	1.7058	1.0000
6	1.7254	1.2479	2.6064	1.3137	2.4758	0.8696	1.9841
7	1.7372	1.2583	2.6381	1.3444	2.6381	1.2583	1.7372	1.0000
8	1.7451	1.2647	2.6564	1.3590	2.6964	1.3389	2.5093	0.8796	1.9410
9	1.7504	1.2690	2.6678	1.3673	2.7239	1.3673	2.6678	1.2690	1.7504	1.0000
10	1.7543	1.2721	2.6754	1.3725	2.7392	1.3806	2.7231	1.3485	2.5239	0.8842	1.9841

3□ Ripple
n	[eqn: g_1]	[eqn: g_2]	[eqn: g_3]	[eqn: g_4]	[eqn: g_5]	[eqn: g_6]	[eqn: g_7]	[eqn: g_8]	[eqn: g_9]	[eqn: g_10]	[eqn: g_11]
1	1.9953	1.0000
2	3.1013	0.5339	5.8095
3	3.3487	0.7117	3.3478	1.0000
4	3.4893	0.7483	4.3471	0.5920	5.8095
5	3.4817	0.7618	4.5381	0.7618	3.4817	1.0000
6	3.5045	0.7685	4.6061	0.7929	4.4641	0.6033	5.8095
7	3.5182	0.7723	4.6386	0.8039	4.6386	0.7723	3.5182	1.0000
8	3.5277	0.7745	4.6575	0.8089	4.6990	0.8018	4.4990	0.6073	5.8095
9	3.5340	0.7760	4.6692	0.8118	4.7272	0.8118	4.6692	0.7760	3.5340	1.0000
10	3.5384	0.7771	4.6768	0.8136	4.7425	0.8164	4.7260	0.8051	4.5142	0.6091	5.8095

(c) 필터 변환 ( FILTER TRANSFORMATION )

프로토타입으로 설계를 할 때는 전원저항과 부하저항은 모두 1로 정규화한 값이다. 따라서 프로토타입으로 설계한 결과에 임피던스 [eqn: R_c]를 곱하면 [eqn: R_-c]의 부하저항을 얻을 수 있다. 이들 정규화된 설계들은 주어진 고역 통과, 대역 통과나 대역 저지의 특징에 맞게 원하는 임피던스와 주파수에 대하여 스케일링 할 수 있다.

임피던스와 주파수 스케일링 ( SCALING )

□ 임피던스 스케일링 ( Impedance Scaling )

기본형에서는 전원과 부하의 임피던스가 1□로 하였으나 원하는 임피던스로 변환시키기 위해서는 부하저항[eqn: RM R_o]는 기본형 설계임피던스에 [eqn: RM R_o]를 곱한다

새로운 필터 소자들은

[eqn: RM LPILE{L^' =R_o L##C^' = C OVER R_o##R_s ^' ~=~R_o#~#R_L ^' = R_o R_L~~~~~~~~~~ L~ ,~ C~ ,~ R~는~ 회로~ 기본형~ 값}]

□ 저역통과 필터를 위한 주파수 Scaling

저역통과 필터의 기본형의 차단 주파수를 1에서 [eqn: □_c]로 변환하는 것이 필요하다.

[eqn: □~←~ □ OVER □_c]

새로운 전력 손실비 :

[eqn: RM P_LR ^' (□) ~=~ P_LR LEFT(□ OVER □_c RIGHT)]   ,[eqn: □_c]는 새로운 차단 주파수

새로운 소자값은 기본형의 직렬 리액턴스와 병렬 서셉턴스를 변환시킴으로 얻을 수 있다.

[eqn: jX_k ~=~ j □ OVER □_c L_k ~=~ j□L_k^']

[eqn: jB_k ~=~j{□ OVER □_c}C_k ~=~j□C_k^']

새로운 소자들은

[eqn: L_k^' ~=~ L_k OVER □_c ~~~~~~~~~~~L_k ~ =~R_o L]

[eqn: C_k^' ~=~ C_k OVER □_c ~~~~~~~~~~~C_k ~=~ C OVER R_o]

저역 통과 필터의 임티던스와 주파수 scaling을 한 최종치는

[eqn: L_k^' ~=~{R_o L} OVER □_c]

[eqn: C_k^' ~=~ C OVER {R_o □_c}]

□ 고역 통과 필터 변환 ( Low pass to High Pass transformation )

[eqn: □~←~ - □_c OVER □]

주파수 변환을 통해 고역 통과 응답으로 변환시킬수 있다.음의 부호는 인덕터(커패시터)를 실현 가능한 커패시터(인덕터)로 변환시키는데 필요하다.	고역 통과 필터의 직렬 리액턴스와 병렬 서셉턴스는

[eqn: jX_k ~=~ - j □_c OVER □ L_k ~=~ 1 over j□C_k^']

[eqn: jB_k ~=~ - j{□_c OVER □}C_k ~=~ 1 overj□L_k^']

직렬 인덕터는 커패시터로, 병렬 커패시터는 인덕터로 대치됨을 보여준다.

새로운 소자들의 값은

[eqn: L_k^' ~=~ 1 OVER {□_c C_k} ~~~~~~~~~~~C_k ~ =~ C over R_o]

[eqn: C_k^' ~=~ 1 OVER { □_c L_k } ~~~~~~~~~~~L_k ~=~ R_o L]

따라서 최종적인 새로운 소자값들은

[eqn: L_k^' ~=~ R_o OVER {□_c C}]

[eqn: C_k^' ~=~ 1 OVER {R_o □_c L }]

□ 대역 통과 필터 변환 ( Bandpass Transformation )

필터의 기본형은 대역 통과나 대역 저지 필터로 변환될 수 있다.

대역 통과 응답은 다음과 같이 주파수를  변환시킴으로 얻을 수 있다.

여기서 [eqn: □_1]와 [eqn: □_2]는 통과 대역의 가장 자리를 가리킨다.

[eqn: □~~ ←~~ □_o over {□_2~ -~□_1}~left(□ over □_o ~ -~ □_o over□ right)~= ~1 over □~left(□ over □_o ~- ~□_o over □right)]

[eqn: □~= ~{□_2 ~- ~□_1} over □_o] ; 부분 대역폭

[eqn: □_o ~= ~sqrt{□_1 · □_2}]   ; 중심 주파수

새로운 필터 소자들

∴[eqn: L_k^' ~= ~L_k OVER {□□_o}~~~~~~~~~C_k^' ~= ~□ OVER {□_o L_k}]

직렬 인덕터 [eqn: L_k]  소자 값을  직렬  [eqn: LC] 회로로 변환시킨 것이다

∴[eqn: L_k^' ~=~ □ OVER {□_o C_k} ~~~~~~~C_k^' ~=~ C_k OVER □□_o]

병렬 커패시터를 [eqn: LC]병렬 회로로 변환시킨 것이다

□ 대역 저지 필터 변환 ( Bandstop Transformation )

대역 통과 응답은 다음과 같이 주파수를  변환시킴으로 얻을 수 있다. 여기서 [eqn: □_1]와 [eqn: □_2]는 저지 대역의 가장 자리를 가리킨다.

[eqn: □~~ ←~~ 1 over □~left(□ over □_o ~- ~□_o over □right)^-1]

[eqn: □~= ~{□_2 ~- ~□_1} over □_o] ; 부분 대역폭

[eqn: □_o ~= ~sqrt{□_1 · □_2}]   ; 중심 주파수

새로운 필터 소자들은 다음과 같이 정의 된다.

∴[eqn: L_k^' ~= ~ □L_k OVER {□_o}~~~~~~~~~C_k^' ~= ~1 OVER {□_o □L_k}]

이 정의는 직렬 인덕터 [eqn: L_k] 소자 값을 직렬 [eqn: LC] 회로로 변환시킨 것을 의미한다.

∴[eqn: L_k^' ~=~ 1 OVER {□_o □C_k} ~~~~~~~C_k^' ~=~ □C_k OVER □_o]

이 정의는 병렬 커패시터를 [eqn: LC] 병렬 회로로 변환시킨 것을 의미한다.

(d) 마이크로스트립 선로를 이용한 필터설계방법

① Chebyshev형 저역통과필터 설계방법

♠필터의 차수결정

저역통과필터의 차단주파수와 감쇄 및 리플이 결정되면 식 (16)으로부터 필터의 차수를 구할 수 있다.

♠필터의 요소값들 계산

필터의 차수가 결정되면 저역통과필터의 프로토타입에 대한 각 요소값들을 계산한다.

♠ 인덕턴스와 커패시턴스값 계산

필터 요소로부터 인덕턴스와 커패시턴스 값은 다음과 같이 주어진다.

[eqn: L_k = { g_k Z_o } over □][H]

[eqn: C_k = g_k over { □Z_0 }][F]

여기서, [eqn: Z_0]는 시스템의 특성임피던스 이다.

② 스텝 임피던스를 이용한 저역통과 필터의 설계

인덕턴스와 커패시턴스가 결정되면, 낮은 특성 임피던스와 높은 특성 임피던스를 갖는 마이크로스트립 선로를 사용하여 설계할 수 있다. 인덕턴스는 매우 높은 특성 임피던스를 사용하여 얻을 수 있고, 인덕턴스 값이 주어지면 다음 식 (3-52)에 의하여 선로의 길이를 구할 수 있다.

[eqn: l = □_H over 2pi sin^-1 ( □L over Z_H )]

여기서, [eqn: Z_H]는 높은 특성 임피던스이고, [eqn: □_H]는 이 특성 임피던스에 해당하는 파장이다. 이 높은 특성임피던스 선로의 커패시턴스 성분은 다음 식 (17)과 같이 주어진다.

[eqn: C_L = 1 over □Z_H tan left{ pil over □_H right}]   ………………………………………………(17)

커패시턴스는 매우 작은 특성 임피던스를 갖는 선로를 사용하여 구현할 수 있고, 커패시턴스 값이 주어지면 선로의 길이는 다음 식 (18)에서 구할 수 있다.

[eqn: l = □_L over 2pi sin^-1 (□CZ_L )]   ………………………………………………(18)

여기서, [eqn: Z_L]는 매우 낮은 특성 임피던스값이고, [eqn: □_L]는 이 특성 임피던스에 해당하는 파장이다. 이러한 매우 낮은 특성 임피던스를 이용한 선로의인덕턴스는 다음 식 (19)와 같이 주어진다.

[eqn: L_C = Z_L over □ tan left{ pil over □_L right}]   ………………………………………………(19)

③ Chebyshev형 대역통과 필터 설계방법

♠ 필터의 차수 결정

대역통과필터의 경우 □/[eqn: □_c]는

[eqn: □ over □_c = 2 over □ left( □-□_c over □_0 right)]

로 주어지고, 여기서

[eqn: □={ □_2 -□_1 } over □_0]

[eqn: □_0 = { □_1 + □_2 } over 2]

이다. 마찬가지로 중심주파수, 차단주파수 및 감쇄특성이 주어지면 위의 식 (16)으로부터 필터의 차수를 구할 수 있다. 저역통과 필터에서와 동일한 방법으로 필터의 각 요소값들을 구할 수 있다.

♠결합마이크로스트립 선로를 이용한 대역통과필터의 설계

결합 마이크로스트립 선로를 이용하여 설계하려면 필터의 각 요소값들을 결합 마이크로스트립 선로의 공진기로 변환시켜야 한다. 이 관계식들은 다음 식 (20)에 주어져 있다.

첫 단 결합 마이크로스트립 선로에서

[eqn: J_01 over Y_0 =sqrt{ pi□ over {2g_0 g_1}}]   ………………………………………………………(20)

로 주어지고, 중간단에서는

[eqn: J_j,j+1 over Y_0 = pi□ over { 2□_c sqrt{2g_0 g_1 }}], j=1, 2, 3, ……, (n-1)   ………………………(21)

로 주어지고, 최종단에서는

[eqn: Y_n,n+1 over Y_0 = sqrt{ pi□ over {2g_0 g_1 }}]   ……………………………………………………(22)

로 주어진다.

이 변환 파라미터들로부터 짝모드 및 홀모드 특성임피던스를 구하는 관계식은 다음과 같이 주어진다.

[eqn: (Z_oe )_j,j+1 = Z_0 (1+aZ_0 + a^2 Z_0 ^2 )]

[eqn: (Z_oo )_j,j+1 = Z_0 (1-aZ_0 + a^2 Z_0 ^2 )]

짝모드 및 홀모드 특성임피던스가 주어지면 필터의 폭과 간격 및 길이를 구할 수 있다.